Question

某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如右圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含個(gè)小正方形．

(1)求出的值；

(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出與之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出的表達(dá)式；

(3)求的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）41；（2）2n²－2n＋1；（3）－.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的運(yùn)用，以及運(yùn)用數(shù)列的裂項(xiàng)求和的綜合運(yùn)用。

解：　(1)f(5)＝41.

(2)因?yàn)?i>f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4，

　……

由上式規(guī)律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

因?yàn)?i>f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n

⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)

＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…[來(lái)

＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n²－2n＋1.

(3)當(dāng)n≥2時(shí)，＝＝(－)，

∴＋＋＋…＋＝1＋·(1－＋－＋－＋…＋－)

＝1＋(1－)＝－.