Question

【題目】已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且若對于任意的有

（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

（2）解不等式；

（3）若對于任意的， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）增函數(shù)（2）（3）

【解析】試題分析; 1）設(shè) ，由已知可得，分，及兩種情況可知 與 的大小，借助單調(diào)性的定義可得結(jié)論；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性可得去掉不等式中的符號 ，轉(zhuǎn)化為具體不等式，再考慮到函數(shù)定義域可得不等式組，解出即可；
（3）要使得對于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都有f（x）≤-2at+2恒成立，只需對任意的a∈[-1，1]時-2at+2≥f（x）max，整理后化為關(guān)于a的一次函數(shù)可得不等式組；

試題解析;（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：

證明：由題意可知，對于任意的有，

可設(shè)，則，即，

當(dāng)時， ，

∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

當(dāng)時， ，∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

綜上：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．

（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，

又由，

得，解得，

∴不等式的解集為；

∵函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，

要使得對于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，

只需對任意的a∈[﹣1，1]時，即﹣恒成立，

令，此時可以看做的一次函數(shù)，且在a∈[﹣1，1]時y≥0恒成立，

因此只需要，解得，

∴實數(shù)t的取值范圍為： ．