Question

7．以下四個(gè)命題中：
①若命題“?x₀∈R，使得x₀²+ax₀+1≤0成立”為真命題，則a的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）；
②設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$），且其圖象關(guān)于直線x=0對稱，則y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)；
③已知p：x≥k，q：$\frac{3}{x+1}$＜1，如果p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（2，+∞）．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 0

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出使命題“?x₀∈R，使得x₀²+ax₀+1≤0成立”為真命題的a的取值范圍，可判斷①；
根據(jù)函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=0對稱，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷②；
求解不等式$\frac{3}{x+1}$＜1，結(jié)合p是q的充分不必要條件，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍，可判斷③．

解答 解：①若命題“?x₀∈R，使得x₀²+ax₀+1≤0成立”為真命題，則△=a²-4≥0，解得a∈（-∞，-2]∪[2，+∞），即a的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞），故①正確；
②設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{6}$）（|φ|＜$\frac{π}{2}$），由其圖象關(guān)于直線x=0對稱，則φ=$\frac{π}{3}$，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，則y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上為減函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
③由命題p：x≥k，命題q：$\frac{3}{x+1}$＜1?$\frac{3}{x+1}$-1=$\frac{2-x}{x+1}$＜0?$\frac{x-2}{x+1}＞0$?x＜-1，或x＞2，如果p是q的充分不必要條件，則k＞2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（2，+∞），故③正確．
故真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選：B

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．