Question

如圖，A，B是函數(shù)y=e^2x的圖象上兩點，分別過A B作x軸的平行線與函數(shù)y=e^x的圖象交于C，D兩點．
（1）求點A與原點O連成直線的斜率取值范圍；
（2）若直線AB過原點O，求證直線CD也過原點O；
（3）當(dāng)直線BC與y軸平行時，設(shè)B點的橫坐標(biāo)為x，四邊形ABCD的面積為f（x），若方程2f（x）-3e^x=0在區(qū)間[t，t+1]上有實數(shù)解，求整數(shù)t的值．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)過原點O且和函數(shù)y=e^2x的圖象相切的切線的切點為P（a，b），求出切線斜率，可得點A與原點O連成直線的斜率取值范圍；
（2）設(shè)A，B，C，D各點坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₁），（x₄，y₂）則y₁=e2x1=ex3，y₂=e2x2=ex4，即2x₁=x₃，2x₂=x₄，由直線AB過原點O，可得直線OA與OB斜率相等，進而可得直線OC，OD斜率也相等，得到結(jié)論；
（3）方程2f（x）-3e^x=0可化為：

3x

2

（e^x-1）e^x-3e^x=0，即e^x-

2

x

-1=0，構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-

2

x

-1，利用導(dǎo)數(shù)法判斷單調(diào)性后，可得g（x）=e^x-

2

x

-1在[1，2]和[-3，-2]上各有一個零點，即方程2f（x）-3e^x=0在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上有實數(shù)解，進而可得整數(shù)t的值．

解答： 解：（1）設(shè)過原點O且和函數(shù)y=e^2x的圖象相切的切線的切點為P（a，b），
則b=e^2a，又y′=2e^2x，
故切線OP的斜率k_OP=2e^2a，
解

e2a

a

=2e2a，得a=

1

2

，
故k_OP=2e，
故點A與原點O連成直線的斜率取值范圍為（-∞，0）（0，2e）
（2）由已知可設(shè)A，B，C，D各點坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₁），（x₄，y₂）
則y₁=e2x1=ex3，y₂=e2x2=ex4，
即2x₁=x₃，2x₂=x₄，
∵直線AB過原點O，
∴

y2

x2

=

y1

x1

，
∴

y2

2x2

=

y1

2x1

，
即

y2

x4

=

y1

x3

，
即k_OC=k_OD，
∴直線CD也過原點O；
（3）當(dāng)直線BC與y軸平行時，x₂=x₃=2x₁=x，2x₂=x₄=4x₁=2x，
∴f（x）=

1

2

[（x₃-x₁）+（x₄-x₂）]（y₂-y₁）=

3x

4

（e^x-1）e^x，
∴2f（x）-3e^x=0可化為：

3x

2

（e^x-1）e^x-3e^x=0，
由e^x＞0，且x=0不是該方程的解，故原方程等價于：e^x-

2

x

-1=0，
令g（x）=e^x-

2

x

-1，
則g′（x）=e^x+

2

x2

＞0恒成立，
故g（x）=e^x-

2

x

-1在（-∞，0）和（0，+∞）上均為增函數(shù)，
又由g（1）=e-3＜0，g（2）=e²-2＞0，
g（-3）=e^-3-

1

3

＜0，g（-2）=e^-2＞0，
故g（x）=e^x-

2

x

-1在[1，2]和[-3，-2]上各有一個零點，
即方程2f（x）-3e^x=0在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上有實數(shù)解，
故t=1，或t=-3

點評：本題考查的知識點是直線的斜率，三點共線的證明，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，是函數(shù)，方程，導(dǎo)數(shù)與解析幾何的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題．