已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（3）設第（2）問中的與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足,求的取值范圍.
（1）；（2）（3）

試題分析：（1）雙曲線的離心率為，所以橢圓的離心率為。根據(jù)題意原點到直線的距離為，又因為可解得。（2）由題意知即點到直線，和到點的距離相等，根據(jù)橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點以直線為準線的拋物線。（3）由的方程為知設，根據(jù)得出的關系，用兩點間距離求，再用配方法求最值。
試題解析：解（1）易知：雙曲線的離心率為，，
即 ，                             1分
又由題意知：，                          2分
橢圓的方程為.                                   3分
（2） 
動點到定直線的距離等于它到定點的距離       5分
動點的軌跡是以為準線，為焦點的拋物線，              6分
點的軌跡的方程為.                                7分
（3）由（2）知：,設，
則，                      8分

，                  9分
由，左式可化簡為：，               10分
，
當且僅當，即時取等號，                       11分
又，
當，即時，，                  13分
故的取值范圍是.                                14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設橢圓：的離心率，頂點的距離為,為坐標原點.

（1）求橢圓的方程；
（2）過點作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于兩點.
（�。┰嚺袛帱c到直線的距離是否為定值.若是請求出這個定值，若不是請說明理由；
（ⅱ）求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過橢圓＝1上一點M作圓x2＋y2＝2的兩條切線，點A，B為切點．過A，B的直線l與x軸、y軸分別交于P，Q兩點，則△POQ的面積的最小值為(　　)
A．B．C．1D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)上任一點P到兩個焦點的距離的和為2，P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為－.設直線l過橢圓C的右焦點F，交橢圓C于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若＝ (O為坐標原點)，求|y1－y2|的值；
(2)當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在點Q，使得直線QA，QB的傾斜角互為補角？若存在，求出點Q坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若直線和相交，則過點與橢圓的位置關系為(     )
A．點在橢圓內(nèi) B．點在橢圓上
C．點在橢圓外 D．以上三種均有可能

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓＝1上任一點P，由點P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，設點M在PQ上，且＝2，點M的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程；
(2)過點D(0，－2)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點且平行于x軸的直線上一動點，且滿足＝＋ (O為原點)，且四邊形OANB為矩形，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

P是橢圓＝1上的任意一點，F(xiàn)1、F2是它的兩個焦點，O為坐標原點，有一動點Q滿足＝＋，則動點Q的軌跡方程是________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

直線過橢圓的左焦點和一個頂點，則橢圓的方程為        ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓的中心在原點，一個焦點與拋物線的焦點重合，一個頂點的坐標為，則此橢圓方程為         ．

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