Question

已知函數(shù)．
（1）若對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，試求a的取值范圍；
（2）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．當a=1時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上恰有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）=，由f′（x）＞0解得，
由f′（x）＜0得
∴f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減
∴當時，函數(shù)f（x）取得最小值
由于對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以
解得，故a的取值范圍是
（2）依題意得，則
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)．
又因為函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，
所以
解得，
所以b的取值范圍是．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最小值，要使f（x）＞2（a-1）恒成立，需使函數(shù)的最小值大于2（a-1），從而求得a的取值范圍．
（2）利用導(dǎo)數(shù)的符號求出單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，得到，解出實數(shù)b的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線上某點的切線斜率的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的最值．屬于中檔題．