Question

7．已知0＜a_i＜1（i=1，2，3，4），求證：在四個數(shù)a₁（1-a₂），a₂（1-a₃），a₃（1-a₄），a₄（1-a₁）中至少有一個不大于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)四個數(shù)a₁（1-a₂），a₂（1-a₃），a₃（1-a₄），a₄（1-a₁）都大于$\frac{1}{4}$，則得a₄（1-a₁）＜a₁（1-a₁）≤$\frac{1}{4}$[a₁+（1-a₁）]²=$\frac{1}{4}$，與a₄（1-a₁）＞$\frac{1}{4}$矛盾，故假設(shè)不對．故要證的結(jié)論成立．

解答 證明：假設(shè)四個數(shù)a₁（1-a₂），a₂（1-a₃），a₃（1-a₄），a₄（1-a₁）都大于$\frac{1}{4}$．
由a₁（1-a₂）＞$\frac{1}{4}$得a₁、1-a₂中至少一個大于$\frac{1}{2}$，
假設(shè)a₁＞$\frac{1}{2}$，由a₄（1-a₁）＞$\frac{1}{4}$，而a₁＞$\frac{1}{2}$得a₄＞$\frac{1}{2}$，
同理a₃＞$\frac{1}{2}$，a₂＞$\frac{1}{2}$．
假設(shè)a₁是a₁，a₂，a₃，a₄中最大的一個，則a₄（1-a₁）＜a₁（1-a₁）≤$\frac{1}{4}$[a₁+（1-a₁）]²=$\frac{1}{4}$，與a₄（1-a₁）＞$\frac{1}{4}$矛盾．
所以假設(shè)四個數(shù)a₁（1-a₂），a₂（1-a₃），a₃（1-a₄），a₄（1-a₁）都大于$\frac{1}{4}$不成立，
所以四個數(shù)a₁（1-a₂），a₂（1-a₃），a₃（1-a₄），a₄（1-a₁）中至少有一個不大于$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查用反證法證明數(shù)學命題，正確運用反證法的步驟是關(guān)鍵，屬于中檔題．