已知函數(shù)f(x)=
ax
ax+
 a 
( a＞0，a≠1 )
（1）求f（x）+f（1-x）及f(
1
10
)+f(
2
10
)+f(
3
10
)+…+f(
9
10
)的值；
（2）是否存在自然數(shù)a，使
a
f(n)
f (1-n)
＞n2對一切n∈N都成立，若存在，求出自然數(shù)a的最小值；不存在，說明理由；
（3）利用（2）的結(jié)論來比較
1
4
n (n+1 )•lg3和lg（n�。╪∈N）的大�。�
分析：（1）f（x）+f（1-x）=
ax
ax+
a
+
a1-x
a1-x+
a
=
ax
ax+
a
+
a
a+ax
a
=1．
f(
1
10
)+f(
2
10
)+f(
3
10
)+…+f(
9
10
)=[f(
1
10
) +f(
9
10
) ]+[f(
2
10
)+f(
8
10
) ]+[f(
3
10
) +f(
7
10
) ]+[f(
4
10
) +f(
6
10
) ]+f(
1
2
)=4+
a
2
a
，由此能求出其結(jié)果．
（2）假設存在自然數(shù)a，使
a
f(n)
f(1-n)
＞n2對一切n∈N都成立．由f(n)=
an
an+
a
，f(1-n)=
a
a
+an
得
a
f(n)
f(1-n)
=…=
a
an
a
=an，由此能夠證明存在最小自然數(shù)a=3．
（3）由3n＞n2⇒3
n
2
＞n（n∈N），所以3
1
2
＞1＞0，3
2
2
＞2＞0，…，3
n
2
＞n＞0，由此能比較
1
4
n (n+1 )•lg3和lg（n�。╪∈N）的大小．
解答：解：（1）f（x）+f（1-x）
=
ax
ax+
a
+
a1-x
a1-x+
a

=
ax
ax+
a
+
a
a+ax
a

=
2aax+a2x
a
+a
a
(ax+
a
)(a+ax
a
) 

=1．
f(
1
10
)+f(
2
10
)+f(
3
10
)+…+f(
9
10
)
=[f(
1
10
) +f(
9
10
) ]+[f(
2
10
)+f(
8
10
) ]+[f(
3
10
) +f(
7
10
) ]+[f(
4
10
) +f(
6
10
) ]+f(
1
2
)
=4+
a
2
a

=
9
2
．
（2）假設存在自然數(shù)a，使
a
f(n)
f(1-n)
＞n2對一切n∈N都成立．
由f(n)=
an
an+
a
，f(1-n)=
a
a
+an

得
a
f(n)
f(1-n)
=…=
a
an
a
=an，
當a=1，2時，不等式an＞n2顯然不成立．
當a≥3時，an≥3n＞n2，
當n=1時，顯然3＞1，
當n≥2時，3n=(1+2)n=1+
C
1
n
×2+
C
2
n
×22+…≥1+2n+4×
n(n-1)
2
=2n2+1＞n2成立，
則 3n＞n2對一切n∈N都成立．
所以存在最小自然數(shù)a=3．
（3）由3n＞n2⇒3
n
2
＞n（n∈N），
所以3
1
2
＞1＞0，3
2
2
＞2＞0，…，3
n
2
＞n＞0，
相乘得3
1
2
(1+2+…+n)＞n!，3
n(n+1)
4
＞n!，
1
4
(n+1)nlg3＞lgn!成立．
點評：本題考查不等式的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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