Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D使

f(x1) +f(x2)

2

=C（C為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)f（x）在D上的均值為C．給出下列四個(gè)函數(shù)：（1）y=x²，（2）y=sinx，（3）y=lgx，（4）y=3^x，則均值為2的函數(shù)為

（3）

．

Answer 1

分析：對(duì)于函數(shù)y=x²，可直接取任意的x₁∈R，驗(yàn)證求出兩個(gè)的 x2=±

4- x 2 1

，即可得到成立．故錯(cuò)；對(duì)于函數(shù)②y=sinx，根據(jù)值域得到明顯不成立，對(duì)于函數(shù)y=lgx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然成立．對(duì)于函數(shù)y=3^x，特殊值法代入驗(yàn)證不成立成立．即可得到答案．

解答：解：對(duì)于函數(shù)y=x²，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

x 2 1 + x 2 2

2

=2，
x2=±

4- x 2 1

，有兩個(gè)的x₂∈D．故不滿足唯一存在的條件．
對(duì)于函數(shù)y=sinx，明顯不成立，正弦函數(shù)的值域是[-1，1]，故不滿足條件；
對(duì)于函數(shù)y=lgx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故成立．
對(duì)于函數(shù)y=3^x定義域?yàn)镽，值域?yàn)閥＞0．對(duì)于x₁=3，f（x₁）=27．
要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，則f（x₂）=-23，不成立．
綜上可知只有（3）正確，
故答案為：（3）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)新定義的概念的理解，考查平均值不等式在函數(shù)中的應(yīng)用．對(duì)于新定義的問題，需要認(rèn)真分析定義內(nèi)容，本題解題的關(guān)鍵是充分理解各基本初等函數(shù)的定義域和值域，本題是一個(gè)中檔題目．