Question

14．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a²+c²=b²+6c，bsinA=4．
（1）求邊長(zhǎng)a；
（2）若△ABC的面積S=10，求cosC的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可求得acosB=3，又bsinA=4，從而可求$\frac{acosB}{bsinA}=\frac{sinAcosB}{sinBsinA}=\frac{cosB}{sinB}=\frac{3}{4}$，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求得sinB，cosB的值，從而可求a的值．
（2）由三角形面積公式可求c，由余弦定理可求b，即可求得cosC的值．

解答 解：（1）∵$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{6c}{2ac}=\frac{3}{a}$，
∴acosB=3（2分）
又bsinA=4，
∴$\frac{acosB}{bsinA}=\frac{sinAcosB}{sinBsinA}=\frac{cosB}{sinB}=\frac{3}{4}$，
∴$sinB=\frac{4}{5}，cosB=\frac{3}{5}$，
∴a=5（6分）
（2）$S=10=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×5c×\frac{4}{5}$，
∴c=5（8分）
b²=a²+c²-2accosB=20，
∴$b=2\sqrt{5}$（10分）
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．