Question

如圖，已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）圖象上一個最高點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），這個最高點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)的圖象與x軸交于點(diǎn)（5，0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在正整數(shù)m，使得將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個單位后得到一個偶函數(shù)的圖象？若存在，求m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由圖象知A=2，=3，
∴T=12，∴ω==，
∴f（x）=2sin（x+φ），
∵圖象過（2，2），∴2=2sin（×2+φ），
∴sin（×2+φ）=1，
令+φ=，∴φ=，
∴f（x）=2sin（x+）．
（2）假設(shè)存在m，則有
f（x-m）=2sin[（x-m）+]=2sin[x+（1-m）]
∵f（x-m）為偶函數(shù)，
∴（1-m）=，k∈Z
∴m=-6k-2，∴k=-1時m=4．
∴存在m，m的最小值為4．
分析：（1）利用三角函數(shù)的圖象確定A，ω，φ．其中最值確定A，周期大小確定ω，利用定點(diǎn)（2，2），確定φ．
（2）利用函數(shù)的平移得到偶函數(shù)的條件，然后求出m．
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象平移，要求熟練掌握三角函數(shù)之間的變換技巧．