Question

設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且對(duì)于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立．如果實(shí)數(shù)m，n滿足不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，那么m²+n²的取值范圍是________．

Answer 1

（9，49）
分析：根據(jù)對(duì)于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立，不等式可化為f（m²-6m+21）＜f（-n²+8n），利用f（x）是定義在R上的增函數(shù)，可得（m-3）²+（n-4）²＜4，確定（m-3）²+（n-4）²=4內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍，利用m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，即可求得m²+n² 的取值范圍．
解答：∵對(duì)于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立
∴f（-x）=-f（x）
∵f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，
∴f（m²-6m+21）＜-f（n²-8n）=f（-n²+8n），
∵f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴m²-6m+21＜-n²+8n
∴（m-3）²+（n-4）²＜4
∵（m-3）²+（n-4）²=4的圓心坐標(biāo)為：（3，4），半徑為2
∴（m-3）²+（n-4）²=4內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍為（5-2，5+2），即（3，7）
∵m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方
∴m²+n² 的取值范圍是（9，49）．
故答案為：（9，49）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查不等式的含義，解題的關(guān)鍵是確定圓內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍．