Question

如圖，角θ的始邊OA落在ox軸上，其始邊、終邊與單位圓分別交于點A、C、θ∈（0，

π

2

），外△AOB為等邊三角形．
（Ⅰ）若點C的坐標為（

3

5

，

4

5

）．求cos∠BOC；
（Ⅱ）記f（θ）=|BC|²，求函數(shù)f（θ）的解析式和值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得cos∠COA=

3

5

，sin∠COA=

4

5

，∠AOB=

π

3

，由cos∠BOC=cos（∠COA+

π

3

）
=cos∠COA cos

π

3

-sin∠COA sin

π

3

，運算求得結(jié)果．
（Ⅱ）先求出點B的坐標為（

1

2

，-

3

2

），點C的坐標為（cosθ，sinθ），利用兩點間的距離公式化簡f （θ）
為 2+2sin（θ-

π

6

），再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求出 函數(shù)f（θ）的值域．

解答：解：（Ⅰ）若點C的坐標為（

3

5

，

4

5

），∴cos∠COA=

3

5

，sin∠COA=

4

5

．
再由△AOB為等邊三角形可得∠AOB=

π

3

，
∴cos∠BOC=cos（∠COA+

π

3

）=cos∠COA cos

π

3

-sin∠COA sin

π

3

=

3-4 3

10

．
（Ⅱ）記f （θ）=|BC|²，由于△AOB為等邊三角形，故點B的坐標為
（

1

2

，-

3

2

）．
再由θ∈（0，

π

2

），點C的坐標為（cosθ，sinθ）可得，
f （θ）=|BC|² =(cosθ-

1

2

)2+(sinθ+

3

2

)2=2-cosθ+

3

sinθ
=2+2sin（θ-

π

6

）．
由于-

π

6

＜θ-

π

6

＜

π

3

，∴-

1

2

＜sin（θ-

π

6

）＜

3

2

，∴1＜2+2sin（θ-

π

6

） ＜2+

3

，
故函數(shù)f（θ）的值域為（1，2+

3

）．

點評：本題主要考查余弦定理，正弦函數(shù)的定義域和值域，兩角和差的余弦公式的應用，屬于中檔題．