Question

【題目】已知△ABC是斜三角形，內角A、B、C所對的邊的長分別為a、b、c．若csinA= acosC．
（1）求角C；
（2）若c= ，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，由正弦定理可得sinCsinA= sinAcosC，

sinA≠0，

∴ ，

得 ，

∵C∈（0，π），

∴ ．

（2）解：∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），

∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，

∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，

∵△ABC為斜三角形，

∴cosA≠0，

∴sinB=5sinA，

由正弦定理可知b=5a （1）

由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，

∴ ，（2）

由（1）（2）解得a=5，b=1，

∴

【解析】（1）由 ，利用正弦定理可得sinCsinA= sinAcosC，于是 ，即可得出；（2）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，聯(lián)立解出，再利用三角形面積計算公式即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．