Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²，已知x=-2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)．
（1）求a和b的值；
（2）設(shè)g(x)=

2

3

x3-x2，試比較f（x）與g（x）的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在-2，1處的值為0，列出方程組，求出a，b的值．
（2）求出f（x）-g（x）的解析式，將差因式分解，構(gòu)造函數(shù)h（x），利用導(dǎo)函數(shù)求出h（x）的最小值，判斷出差的符號，判斷出f（x）與g（x）的大小關(guān)系．

解答：解：（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），
由x=-2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)，得

f′(-2)=0 f′(1)=0.

即

-6a+2b=0 3+3a+2b=0

解得

a=- 1 3 b=-1.

（2）由（1）得f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2，
故f(x)-g(x)=x2e x-1-

1

3

x3-x2-

2

3

x3+x2=x2(ex-1-x)．
令h（x）=e^x-1-x，則h'（x）=e^x-1-1．（9分）
令h'（x）=0，得x=1．（10分）h'（x）、h（x）隨x的變化情況如表：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	0	↗

由上表可知，當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得極小值，也是最小值；即當(dāng)x∈（-∞，+∞）時(shí)，h（x）≥h（1），
也就是恒有h（x）≥0．
又x²≥0，
所以f（x）-g（x）≥0，
故對任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0；考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、考查通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值進(jìn)一步證明不等式．