Question

O是銳角三角形ABC的外心，由O向邊BC，CA，AB引垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn)，給出下列命題：
①

OA

+

OB

+

OC

=0；
②

OD

+

OE

+

OF

=0；
③|

OD

|：|

OE

|：|

OF

|=cosA：cosB：cosC；
④?λ∈R，使得

AD

=λ（

. AB

| AB |sinB

+

AC

| AC |sinC

）．
以上命題正確的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由O點(diǎn)是銳角三角形ABC的外心，利用外心的概念，結(jié)合向量加法的平行四邊形法則得到向量

OD

，

OE

，

OF

與向量

OA

，

OB

，

OC

的關(guān)系，運(yùn)用反證法的思想得到命題①②均不正確；
利用三角形外接圓半徑的關(guān)系，把|

OD

|：|

OE

|：|

OF

|轉(zhuǎn)化為

OD

OC

：

OE

OA

：

OF

OB

，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為cos∠COD：cos∠AOE：cos∠BOF，借助于同弧所對(duì)圓心角是圓周角的2倍得到③|

OD

|：|

OE

|：|

OF

|=cosA：cosB：cosC；
利用正弦定理把命題④中的sinB和sinC替換為三角形的邊長(zhǎng)和外接圓的半徑，由

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)替換整理可求出存在的實(shí)數(shù)λ的值．

解答：解：因?yàn)镺是銳角三角形ABC的外心，所以O(shè)在△ABC內(nèi)部，由O向邊BC，CA，AB引垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn)，
則D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，
由向量加法的平行四邊形法則可知，

OB

+

OC

=2

OD

，
若

OA

+

OB

+

OC

=

0

，則

OA

=-(

OB

+

OC

)，所以

OA

=-2

OD

，說(shuō)明A，O，D一定共線，因?yàn)镺D⊥BC，
所以AD⊥BC，則有AB=AC，而原三角形只是銳角三角形，不一定有AB=AC，所以命題①錯(cuò)誤；
由

OD

=

1

2

(

OB

+

OC

)，

OE

=

1

2

(

OC

+

OA

)，

OF

=

1

2

(

OA

+

OB

)，
所以

OD

+

OE

+

OF

=

1

2

(2

OA

+2

OB

+2

OC

)=

OA

+

OB

+

OC

，
因?yàn)槊�題①不正確，所以命題②不正確；
因?yàn)镺是△ABC的外心，所以O(shè)A=OB=OC，又OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB
所以O(shè)D：OE：OF=

OD

OC

：

OE

OA

：

OF

OB

=cos∠COD：cos∠AOE：cos∠BOF，
∵∠COD=

1

2

∠BOC=∠A，∠AOE=

1

2

∠COA=∠B，∠BOF=

1

2

∠AOB=∠C，
∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC，所以命題③正確；
在△ABC中，因?yàn)?span id="1zzxv3h" class="MathJye">

| AC |

sinB

=

| AB |

sinC

=2R，
所以

AB

| AB |sinB

+

AC

| AC |sinC

=

2R

| AB |•| AC |

(

AB

+

AC

)，
因?yàn)?span id="yvauxin" class="MathJye">

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，若?λ∈R，使得

AD

=λ（

. AB

| AB |sinB

+

AC

| AC |sinC

），
即

AD

=

2λR

| AB |•| AC |

(

AB

+

AC

)，則

2λR

| AB |•| AC |

=

1

2

，所以λ=

| AB |•| AC |

4R

．
所以?λ∈R，使得

AD

=λ（

. AB

| AB |sinB

+

AC

| AC |sinC

），所以命題④正確．
綜上，正確命題是③④．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角形的外心，明確三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn)是關(guān)鍵，考查了平面向量在三角形中的應(yīng)用，屬中檔題．