Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a為非零常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=

2

PB，記點(diǎn)P的軌跡曲線為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）曲線C上不同兩點(diǎn)Q （x₁，y₁），R （x₂，y₂）滿足

AR

=λ

AQ

，點(diǎn)S為R 關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)．
①試用λ表示x₁，x₂，并求λ的取值范圍；
②當(dāng)λ變化時(shí)，x軸上是否存在定點(diǎn)T，使S，T，Q三點(diǎn)共線，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用PA=

2

PB，化簡(jiǎn)即得；
（2）①由

AR

=λ

AQ

，可得

x2-λx1=2a(1-λ) y2=λy1

，又Q，R在曲線C上，所以有x1=

3-λ

2

a，x2=

3λ-1

2λ

a，利用-

2

a≤x1，x2≤

2

a，由此可確定λ的取值范圍．
②先猜想存在符合題意的點(diǎn)T（a，0），再證明．要證S，T，Q三點(diǎn)共線，只要證明

TQ

∥

TS

．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），由PA=

2

PB，得

(x-2a)2+y2

=

2

×

(x-a)2+y2

，平方整理得x²+y²=2a²，所以曲線C的方程為x²+y²=2a²
（2）①由

AR

=λ

AQ

，得

x2-λx1=2a(1-λ) y2=λy1

，∵Q，R在曲線C上，∴

x 2 1 + y 2 1 =2a2 x 2 2 + y 2 2 =2a2

，
∴x1=

3-λ

2

a，x2=

3λ-1

2λ

a，∵-

2

a≤x1，x2≤

2

a，∴3-2

2

≤λ≤3+2

2

又Q，R不重合，∴λ≠1，∴λ的取值范圍是[3-2

2

，1)∪(1，3+2

2

)
②存在符合題意的點(diǎn)T（a，0），證明如下：

TS

=(x2-a，--y2)，

TQ

=(x1-a，--y1)，
要證S，T，Q三點(diǎn)共線，只要證明

TQ

∥

TS

，即（x₂-a）y₁-（x₁-a）（-y₂）=0
∵y₂=λy₁，∴只要（x₂-a）y₁+λ（x₁-a）y₁=0
若y₁=0，則y₂=0成立
若y₁≠0，只要x₂+λx₁-a（1+λ）=0成立
所以存在點(diǎn)T（a，0），使S，T，Q三點(diǎn)共線

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查曲線方程的求解，考查向量與解析幾何的聯(lián)系．對(duì)于是否存在性問題，可以先猜后證，把結(jié)論作為條件．