如圖,已知F(2,0)為橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn),AB為橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦),線段OF的垂直平分線與橢圓相交于兩點(diǎn)C、D,且∠CAD=90°.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)P、Q.若存在一定點(diǎn)E(m,0),使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EP、EQ的距離相等,求m的值.

【答案】分析:(Ⅰ)由題意可把A、C、D的坐標(biāo)用含有a,b的代數(shù)式表示,由∠CAD=90°,得到,代入坐標(biāo)可得關(guān)于a,b的方程,結(jié)合a2=b2+4可求解a,b的值,則橢圓方程渴求;
(Ⅱ)設(shè)出直線l的方程,和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程,由根與系數(shù)關(guān)系寫出兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積,由定點(diǎn)E(m,0)使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EP、EQ的距離相等得到kEP+kEQ=0,由兩點(diǎn)寫出斜率代入后再把兩根的和與積代入即可求得m的值.
解答:解:(Ⅰ)F(2,0),則,其中
所以
因?yàn)椤螩AD=90°,所以
所以,即,
聯(lián)立a2=b2+4解得a2=6,所以b2=2.
可得橢圓方程為;
(Ⅱ)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線l的方程為y=k(x-2)(k≠0).
,得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0.
所以
根據(jù)題意,x軸平分∠PEQ,則直線EP,EQ的傾斜角互補(bǔ),即kEP+kEQ=0.
設(shè)E(m,0),則有.(當(dāng)x1=m或x2=m時(shí)不合題意)
將y1=k(x1-2),y2=k(x2-2)代入上式,得
又k≠0,所以


∴2x1x2-(m+2)(x1+x2)+4m=0.
代入,解得m=3.
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及學(xué)生的運(yùn)算能力,解答的關(guān)鍵是計(jì)算的準(zhǔn)確性,是有一定難度題目.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•濰坊二模)如圖,已知F(2,0)為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦點(diǎn),AB為橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦),線段OF的垂直平分線與橢圓相交于兩點(diǎn)C、D,且∠CAD=90°.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)P、Q.若存在一定點(diǎn)E(m,0),使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EP、EQ的距離相等,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知F(c,0)是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn);⊙F:(x-c)2+y2=a2與x軸交于D,E兩點(diǎn),其中E是橢圓C的左焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)⊙F與y軸的正半軸的交點(diǎn)為B,點(diǎn)A是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),試判斷直線AB與⊙F的位置關(guān)系;
(3)設(shè)直線BF與⊙F交于另一點(diǎn)G,若△BGD的面積為4
3
,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知F(c,0)是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn);⊙F:(x-c)2+y2=a2與x軸交于D,E兩點(diǎn),其中E是橢圓C的左焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)⊙F與y軸的正半軸的交點(diǎn)為B,點(diǎn)A是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),試判斷直線AB與⊙F的位置關(guān)系;
(3)設(shè)直線AB與橢圓C交于另一點(diǎn)G,若△BGD的面積為
24
6
13
c
,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年山東省濰坊市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知F(2,0)為橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn),AB為橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦),線段OF的垂直平分線與橢圓相交于兩點(diǎn)C、D,且∠CAD=90°.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)P、Q.若存在一定點(diǎn)E(m,0),使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EP、EQ的距離相等,求m的值.

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