Question

關(guān)于自然數(shù)2160，回答下列問題：

(1)它有多少個不同的正因數(shù)?

(2)它的所有正因數(shù)的和等于多少?

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵2160＝24×33×5， ∴2160的正因數(shù)的通式為p＝2a·3b·5c，其中a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3)，c∈{0，1}，于是，要得到一個確定的因數(shù)必須而且只需確定冪指數(shù)a、b、c的值，這可以分三個步驟完成：第一步確定a的值有5種；第二步確定b的值有4種；第三步確定c的值有2種． 又因為確定了一組a、b、c的值，就確定了唯一的一個因數(shù)，而不同的值(即a、b、c中至少有一個不同)，對應(yīng)不同的因數(shù)，所以2160的正因數(shù)個數(shù)為5×4×2＝40個． (2)因為分別計算40個正因數(shù)的值，再把它們相加比較繁雜，所以將它們用分組分解法進行因式分解以便簡化計算，又因為每個因數(shù)都是三種不同底數(shù)冪的乘積，所以考查式子： (1＋2＋22＋23＋24)(1＋3＋32＋33)(1＋5)． 將其展開有40項，每一項就是2160的一個正因數(shù)，不同的項是不同的正因數(shù)．于是 =（1＋2＋22＋23＋24）（1＋3＋32＋33）（1＋5）=31×40×6=7400． 答：2160有40個正因數(shù)；它們的和為7440． 點評：善于聯(lián)想找到等價命題是解決本題的關(guān)鍵，而第一問勿忘指數(shù)為0的情況．