Question

（2011•福建模擬）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C的極坐標方程為ρ2=

36	4cos2θ+9sin2θ

；
（Ⅰ）若以極點為原點，極軸所在的直線為x軸，求曲線C的直角坐標方程．
（Ⅱ）若P（x，y）是曲線C上的一個動點，求3x+4y的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先將曲線C的極坐標方程化為4（ρcosθ）²+9（ρsinθ）²=36，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得到曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）利用參數(shù)法設(shè)點的坐標，設(shè)P（3cosθ，2sinθ），則3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin(θ+φ)，根據(jù)sin（θ+φ）的最大值，可確定3x+4y的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標方程為ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

；
∴4（ρcosθ）²+9（ρsinθ）²=36
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ
∴4x²+9y²=36
∴

x2

9

+

y2

4

=1；（3分）
（Ⅱ）設(shè)P（3cosθ，2sinθ），
則3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin(θ+φ)（6分）
∵θ∈R，
∴當sin（θ+φ）=1時，3x+4y的最大值為

145

（7分）

點評：本題以曲線的極坐標方程為載體，考查極坐標與直角坐標方程的互化，考查參數(shù)法，解題的關(guān)鍵是利用x=ρcosθ，y=ρsinθ
．