Question

已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（1）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有極值1，求a的值；
（2）若函數(shù)G（x）=

xf(x)

a

+ag（x）+

2

x

在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）∵F（x）=ax-ln x（x＞0），∴F′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

（x＞0），討論①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)的情況，從而求出a的值；
（2）由題意得G（x）=2x+

a

x

-

2

x2

，函數(shù)G（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，分情況討論①若G（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，則G′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，得a≥0；
②若G（x）為[1，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，得a≤

2

x

-2x²在[1，+∞）上恒成立，不可能，從而求出a的范圍是[0，+∞）．

解答： 解：（1）∵F（x）=ax-ln x（x＞0），∴F′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

（x＞0）．
①當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，無極值．
②當(dāng)a＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）=0⇒x=

1

a

．
對(duì)x∈（0，

1

a

），F(xiàn)′（x）＜0，∴F（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減；
對(duì)x∈（

1

a

，+∞），F(xiàn)′（x）＞0，∴F（x）在（

1

a

，+∞）上遞增，
∴F（x）在x=

1

a

處有極小值，即F（

1

a

）=1-ln

1

a

，
∴1-ln

1

a

=1⇒a=1，
綜上a=1；
（2）由題意得G（x）=2x+

a

x

-

2

x2

，函數(shù)G（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
①若G（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，則G′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

2

x

-2x²在[1，+∞）恒成立，設(shè)h（x）=

2

x

-2x²，
∵h(yuǎn)（x）在[1，+∞）上遞減，
∴h（x）_max=h（1）=0，
∴a≥0；
②若G（x）為[1，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，
則G′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤

2

x

-2x²在[1，+∞）上恒成立，不可能，
∴a的范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．