Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的n∈N^*，都有a_n＞0，．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）證明：a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知，，將a₁=1代入上式可得a₂=2．
（2）由，得a₁³+a₂³++a_n³=（a₁+a₂++a_n）²解得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
所以a_n+1-a_n=1．由此能夠導出a_n=n．
（3）由于（1+x）ⁿ=C_n+C_n¹x+C_n²x²+C_n³x³+，（1-x）ⁿ=C_n-C_n¹x+C_n²x²-C_n³x³+，所以（1+x）ⁿ-（1-x）ⁿ-2nx=2C_n³x³+2C_n⁵x⁵+．再由分析法可知原不等式成立．
解答：（1）解：當n=1時，有，
由于a_n＞0，所以a₁=1．
當n=2時，有，即，
將a₁=1代入上式，由于a_n＞0，所以a₂=2．
（2）解：由，
得a₁³+a₂³++a_n³=（a₁+a₂++a_n）²，①
則有a₁³+a₂³++a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²．②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂++a_n）²，
由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂++a_n）+a_n+1．③
同樣有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
所以a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即當n≥1時都有a_n+1-a_n=1，所以數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
故a_n=n．
（3）證明1：由于（1+x）ⁿ=C_n+C_n¹x+C_n²x²+C_n³x³+，（1-x）ⁿ=C_n-C_n¹x+C_n²x²-C_n³x³+，
所以（1+x）ⁿ-（1-x）ⁿ=2C_n¹x+2C_n³x³+2C_n⁵x⁵+．
即（1+x）ⁿ-（1-x）ⁿ-2nx=2C_n³x³+2C_n⁵x⁵+．
令，則有．
即，
即（2n+1）ⁿ≥（2n）ⁿ+（2n-1）ⁿ
故a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ．
證明2：要證a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ，
只需證（2n+1）ⁿ≥（2n）ⁿ+（2n-1）ⁿ，
只需證，
只需證．
由于===．
因此原不等式成立．
點評：本小題主要考查數(shù)列、不等式、二項式定理等知識，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．