Question

12．已知函數(shù)f（x）=3${\;}^{-{x}^{2}+ax+2}$．
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求出其值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，f（-x）=f（x），得出a的值；
（2）根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)y=${3}^{{-x}^{2}+2x+2}$的單調(diào)性，求出它的單調(diào)區(qū)間與最值，即得y的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3${\;}^{-{x}^{2}+ax+2}$是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即${3}^{{-（-x）}^{2}+a（-x）+2}$=${3}^{{-x}^{2}+ax+2}$，
即-x²-ax+2=-x²+ax+2，
∴2ax=0，
∴a=0；
（2）當a=2時，函數(shù)f（x）=${3}^{{-x}^{2}+2x+2}$，
若x≤1，則函數(shù)t=-x²+2x+2是增函數(shù)，
函數(shù)y=${3}^{{-x}^{2}+2x+2}$是增函數(shù)；
若x≥1，則函數(shù)t=-x²+2x+2，
函數(shù)y=${3}^{{-x}^{2}+2x+2}$是單調(diào)減函數(shù)；
∴函數(shù)y=${3}^{{-x}^{2}+2x+2}$的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1]，
單調(diào)減區(qū)間是[1，+∞）；
又t=-x²+2x+2=-（x-1）²+3≤3，
∴y=${3}^{{-x}^{2}+2x+2}$≤27，
又y＞0，
∴函數(shù)y的值域是（0，27]．

點評 本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，也考查了復合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是綜合性題目．