Question

（2010•朝陽區(qū)二模）已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．在橢圓M中有一內(nèi)接三角形ABC，其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)(

3

，1)，AB所在直線的斜率為

3

3

．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的定義知2a=

(-2- 3 )2+1

+

(2- 3 )2+1

．解出a的值，再由b²=a²-c²解出b的值即可得出橢圓的方程；
（II）由題意可直線AB的方程為y=

3

3

x+m，再由弦長公式用引入的參數(shù)m表示出弦長AB，再用m表示出點(diǎn)C到直線AB的距離，由三角形的面積公式將三角形的面積表示成m的函數(shù)，由基本不等式判斷出面積最大時(shí)的m的值，即可求得直線AB的方程

解答：解：（Ⅰ）由橢圓的定義知2a=

(-2- 3 )2+1

+

(2- 3 )2+1

．
解得 a²=6，所以b²=a²-c²=2．
所以橢圓M的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）由題意設(shè)直線AB的方程為y=

3

3

x+m，
由

x2 6 + y2 2 =1 y= 3 3 x+m

得2x2+2

3

mx+3m2-6=0．
因?yàn)橹本�AB與橢圓M交于不同的兩點(diǎn)A，B，且點(diǎn)C不在直線AB上，
所以

△=12m2-24(m2-2)＞0 1≠ 3 3 • 3 +m

解得-2＜m＜2，且m≠0．
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=-

3

m，x1x2=

3m2-6

2

，y1=

3

3

x1+m，y2=

3

3

x2+m．
所以|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

4 3 [(x1+x2)2-4x1x2]

=2

4-m2

．
點(diǎn)C(

3

，1)到直線y=

3

3

x+m的距離d=

3 |m|

2

．
于是△ABC的面積S=

1

2

|AB|•d=

3

2

|m|•

4-m2

≤

3

2

•

m2+(4-m2)

2

=

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)|m|=

4-m2

，即m=±

2

時(shí)“=”成立．
所以m=±

2

時(shí)△ABC的面積最大，此時(shí)直線AB的方程為y=

3

3

x±

2

．
即為x-

3

y±

6

=0．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了弦長的求法，三角形的面積公式，基本不等式求最值，橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)與技巧是解題的關(guān)鍵，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化的思想，對公式的記憶與靈活運(yùn)用能力，是綜合性較強(qiáng)的題目