Question

（Ⅰ）已知拋物線y²=2px（p＞0），過點(diǎn)M（0，p）的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且l與x軸交于點(diǎn)C，設(shè)

MA

=a

AC

，

MB

=β

BC

，試問α+β是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；
（Ⅱ）點(diǎn)P是拋物線C：y=

1

2

x²上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q，若l不過原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，求

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)A（x_a，y_a），B（x_b，y_b），設(shè)直線l：y=kx+p，聯(lián)立

y=kx+p y2=2px

，得k²x²+（2kp-2p）x+p²=0，x_a+x_b=

2kp-2p

k2

，x_ax_b=

p2

k2

，由l與x軸交于點(diǎn)C，得C（-

p

k

，0），由

MA

=a

AC

，

MB

=β

BC

，得α=

-kxa

kxa+p

，β=

-kxb

kxb+p

，由此能求出α+β為定值-1．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀），依題意x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．分別過P、Q作PP′⊥x軸，QQ′⊥y軸，垂足分別為P′、Q′，則

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|P′P|

+

|OT|

|Q′Q|

=

|b|

|y1|

+

|b|

|y2|

．由此能求出

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A（x_a，y_a），B（x_b，y_b），
∵M(jìn)（0，p），∴設(shè)直線l：y=kx+p，
聯(lián)立

y=kx+p y2=2px

，得k²x²+（2kp-2p）x+p²=0，
∴x_a+x_b=

2kp-2p

k2

，x_ax_b=

p2

k2

，
∵l與x軸交于點(diǎn)C，∴C（-

p

k

，0），
∵

MA

=a

AC

，

MB

=β

BC

，
∴

(xa，ya-p)=α(-xa- p k ，-ya) (xb，yb-p)=β(-xb- p k ，-yb)

，
∴α=

-kxa

kxa+p

，β=

-kxb

kxb+p

，
∴α+β=

-2k2xaxb-2k(xa+xb)

k2xaxb+2k(xa+xb)+p2

=-1．
∴α+β為定值-1．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀），依題意x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．
由y=

1

2

x2，得y'=x．
設(shè)直線l：y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T（0，b）．
分別過P、Q作PP′⊥x軸，QQ′⊥y軸，垂足分別為P′、Q′，
則

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|P′P|

+

|OT|

|Q′Q|

=

|b|

|y1|

+

|b|

|y2|

．
由y=

1

2

x2，y=kx+b消去x，得y²-2（k²+b）y+b²=0．
則y₁+y₂=2（k²+b），y₁y₂=b²．
∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|b|（

1

y1

+

1

y2

）≥2|b|

1 y1y2

=2|b|

1 b2

=2．
∵y₁、y₂可取一切不相等的正數(shù)，
∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范圍是（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩數(shù)和是否為定值的判斷與證明，考查代數(shù)和的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．