Question

1．已知平面向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow，\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2$，（$\overrightarrow{c}$$-\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）=0，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 根據條件可以得到$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為60°，可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，根據條件可以得出OA=2，OB=2，∠AOB=60°，AC⊥BC，從而說明點C在以AB為直徑的圓上，從而當OC過圓心時，OC最長，即$|\overrightarrow{c}|$最大，連接AB，△AOB為等邊三角形，設圓心為D，從而根據OC=OD+DC便可得出$|\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=60°$；
如圖，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{c}-\overrightarrow=\overrightarrow{BC}$；

∵$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow）=0$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=0$；
∴AC⊥BC；
∴點C在以AB為直徑的圓上，設圓心為D，D為AB中點；
∠AOB=60°，OA=OB=2；
∴AB=2；
∴圓半徑為1；
∴當OC過D點時，OC最大，即$|\overrightarrow{c}|$最大；
此時$OC=OD+DC=2•\frac{\sqrt{3}}{2}+1=\sqrt{3}+1$；
即$|\overrightarrow{c}|$的最大值為$\sqrt{3}+1$．
故答案為：$\sqrt{3}+1$．

點評 考查數量積的計算公式，向量夾角的概念，用有線向量表示向量，以及向量垂直的充要條件，直徑所對的圓周角為直角，數形結合解題的方法．