Question

如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，直線AC與過(guò)B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，E為CH中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F，直線CF交直線AB于點(diǎn)G，
（1）求證：點(diǎn)F是BD中點(diǎn)；
（2）求證：CG是⊙O的切線；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）由已知中CH⊥AB于點(diǎn)H，DB為圓的切線，我們易得到△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF，進(jìn)而根據(jù)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，根據(jù)E為CH中點(diǎn)，得到點(diǎn)F是BD中點(diǎn)；
（2）連接CB、OC，根據(jù)圓周定理的推論，我們易得在直角三角形BCD中CF=BF，進(jìn)而求出∠OCF=90°，由切線的判定定理，得到CG是⊙O的切線；
（3）由由FC=FB=FE，易得FA=FG，且AB=BG，由切割線定理及勾股定理，我們可以求出AB的長(zhǎng)，即圓的直徑，進(jìn)而得到圓的半徑．

解答：解：
（1）證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，
∴

EH

BF

=

AE

AF

=

CE

FD

，
∵HE=EC，
∴BF=FD
（2）證明：連接CB、OC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°
∵F是BD中點(diǎn)，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°，
又∵OC為圓O半徑
∴CG是⊙O的切線．
（3）解：由FC=FB=FE得：
∠FCE=∠FEC，
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．
由切割線定理得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²②
由①、②得：FG²-4FG-12=0，解之得：FG₁=6，F(xiàn)G₂=-2（舍去）
∴AB=BG=4

2

，
∴⊙O半徑為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓的切線的判定定理的證明，相似三角形的性質(zhì)及與圓有關(guān)的比例線段，其中根據(jù)已知線段與求知線段的位置關(guān)系，分析后選取恰當(dāng)?shù)亩ɡ磉M(jìn)行解答是解答本題的關(guān)鍵．