Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以?xún)蓚�(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（-4，0），過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)正方形的面積求出橢圓中參數(shù)a的值且判斷出參數(shù)b，c的關(guān)系，根據(jù)橢圓的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出b，c的值，即可得到橢圓的方程．
（II）設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用二次方程的韋達(dá)定理得到弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，得到中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的不等關(guān)系，即可求直線l的斜率的取值范圍．
解答：解：（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為，焦距為2c，
由題設(shè)條件知，a²=8，b=c，所以
故橢圓C的方程為  …（6分）．
（2）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為x=-4，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0）
顯然直線l的斜率k存在，所以可設(shè)直線l的方程為y=k（x+4）．
設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為G（x，y）
由得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0．①
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0解得．②
因?yàn)閤₁，x₂是方程①的兩根，所以，
于是有，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185726445907896/SYS201310241857264459078020_DA/8.png">，所以點(diǎn)G不可能在y軸的右邊，
又直線F₁B₂，F(xiàn)₁B₁方程分別為y=x+2，y=-x-2
所以點(diǎn)G在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為即
亦即
解得，此時(shí)②也成立．
故直線l斜率的取值范圍是 …（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)正方形的面積轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)，要求學(xué)生能通過(guò)橢圓的定義，得到橢圓的相關(guān)基本量．第二問(wèn)對(duì)于“線段MN的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)（包括邊界）”是學(xué)生的思維難點(diǎn)，進(jìn)行有效的代數(shù)化是解題的關(guān)鍵．可以讓學(xué)生回憶數(shù)學(xué)中關(guān)于平面區(qū)域中位置的判斷方法，找到它的充要條件．