已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m．
（1）當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）求被橢圓截得的最長弦的長度．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，直線方程與橢圓方程構(gòu)成的方程組有解，等價(jià)于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；
（2）設(shè)所截弦的兩端點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）及韋達(dá)定理可把弦長|AB|表示為關(guān)于m的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式易求弦長最大值；
解答： 解：（1）由
4x2+y2=1
y=x+m
得：5x2+2mx+m2-1=0，
當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，△=4m2-4×5（m2-1）≥0，即-4m2+5≥0，
解得-
5
2
≤m≤
5
2
，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是-
5
2
≤m≤
5
2
；
（2）設(shè)所截弦的兩端點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知，x1+x2=-
2m
5
，x1x2=
m2-1
5
，
所以弦長|AB|=
2
|x1-x2|=
2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
•
(-
2m
5
)2-
4(m2-1)
5
=
5-4m2
5
，
當(dāng)m=0時(shí)|AB|最大，最大值為：
5
5
．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想，弦長公式、韋達(dá)定理是解決該類題目的基礎(chǔ)知識，應(yīng)熟練掌握．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)T使得對任意的x∈M（M⊆D），有x+T∈D，且f（x+T）≥f（x），則稱函數(shù)f（x）為M上的T高調(diào)函數(shù)．
（1）現(xiàn)給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=log
1
2
x為（0，+∞）上的T高調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sinx為R上的2π高調(diào)函數(shù)；
③如果定義域?yàn)閇-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x2為[-1，+∞）上的m高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）．其中正確命題的序號是
 
；
（2）如果定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0 時(shí)，f（x）=|x2-a2|-a2，且f（x）為R上的4高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），點(diǎn)A為左頂點(diǎn)，點(diǎn)B為上頂點(diǎn)，直線AB的斜率為
3
2
，又直線y=k（x-1）經(jīng)過橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)且與其相交于點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）將|MN|表示為k的函數(shù)；
（Ⅲ）線段MN的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，又點(diǎn)Q（1，0），求證：
|PQ|
|MN|
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足首項(xiàng)為a1=2，an+1=2an（n∈N*）．設(shè)bn=3log2an-2（n∈N*），數(shù)列{cn}滿足cn=anbn．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{bn}成等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為
2
，且過點(diǎn)（4，-
10
）．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，求證：F1M⊥F2M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知方程x2+ax+b=0有且只有一個(gè)根 
（1）求b的值（用a表示）；
（2）若a∈[-3，3]，求a+b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合A，B是非空集合M的兩個(gè)不同子集，滿足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．
（1）若M={a1，a2，a3，a4}，直接寫出所有不同的有序集合對（A，B）的個(gè)數(shù)；
（2）若M={a1，a2，a3，…，an}，求所有不同的有序集合對（A，B）的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的左支相交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)M，定點(diǎn)C（-2，0）．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）求直線MC在y軸上的截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}，公差d＞0，前n項(xiàng)和為Sn，S3=6，且滿足a3-a1，2a2，a8成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=
1
an•an+2
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的值．

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