設函數(shù)f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當0＜a＜2時，求函數(shù)g（x）=f（x）-x2-ax-1在區(qū)間[0，3]的最小值．
【答案】分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后令f′（x）=0，解出函數(shù)的極值點，最后根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，從而求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（Ⅱ）因為函數(shù)g（x）=f（x）-x2-ax-1，求出g（x）的導數(shù)，求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后只需討論與3的大小，從而分類討論求出函數(shù)g（x）=f（x）-x2-ax-1在區(qū)間[0，3]的最小值．
解答：本小題滿分（14分）
解：（Ⅰ）∵（2分）
由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0；由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．
又∵f（x）定義域為（-1，+∞），
∴所以函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），單調遞減區(qū)間為（-1，0）（5分）
（Ⅱ）由g（x）=f（x）-x2-ax-1
即g（x）=2x-ax-2ln（1+x），（7分）
令g'（x）=0由0＜a＜2及x＞-1，得
且當時f（x）取得極小值．（8分）
∵求f（x）在區(qū)間[0，3]上最小值
∴只需討論與3的大小
①當時＜3
所以函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為（10分）
②當時=3
所以函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為（11分）
③當時＞3
所以函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為g（3）=（13分）
所以，綜上可知當時，函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為；
當時，函數(shù)g（x）在[0，3]上最小值為．（14分）
點評：此題主要考查函數(shù)導數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系，掌握并會熟練運用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，要學會分類討論，難度較大．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，則實數(shù)a的值為
4
4
．

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（2013•安徽）設函數(shù)f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的長度（注：區(qū)間（a，β）的長度定義為β-α）；
（Ⅱ）給定常數(shù)k∈（0，1），當1-k≤a≤1+k時，求I長度的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•浦東新區(qū)二模）記函數(shù)f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它們定義域的交集為D，若對任意的x∈D，f2（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素．
（1）判斷函數(shù)f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
（2）設函數(shù)f（x）=log2（1-2x），求f（x）的反函數(shù)f-1（x），并判斷f（x）是否是M的元素；
（3）f（x）=
axx+b
∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

記函數(shù)f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它們定義域的交集為D，若對任意的x∈D，f2（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素，
例如f（x）=-x+1，對任意x∈R，f2（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）設函數(shù)f（x）=log2（1-2x），判斷f（x）是否是M的元素，并求f（x）的反函數(shù)f-1（x）；
（2）f(x)=
axx+b
∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）設函數(shù)f（x）=xlog2x+（1-x）log2（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．
（2）設正數(shù)P1，P2，P3，…P2n滿足P1+P2+…P2n=1，求證：P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+…+P2nlog2P2n≥-n．

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