Question

（本小題滿分15分）
已知函數(shù).
(Ⅰ) 若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線有且只有一個公共點(diǎn)，求 的值；
(Ⅱ) 求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度 的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）以函數(shù)的遞減區(qū)間長度的取值范圍是.

本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中 的運(yùn)用。
（1）先求解函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223218839526.png" style="vertical-align:middle;" />，函數(shù)導(dǎo)數(shù)
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：
因?yàn)榍芯�與曲線有唯一的公共點(diǎn)，
所以方程有且只有一個實(shí)數(shù)解，顯然是方程的一個解.
構(gòu)造函數(shù)令，則
對參數(shù)m討論得到結(jié)論。
（2））因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232232190571350.png" style="vertical-align:middle;" />.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223219088998.png" style="vertical-align:middle;" />且對稱軸為，
，
所以方程在內(nèi)有兩個不同實(shí)根，
結(jié)合韋達(dá)定理得到結(jié)論。
解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223218839526.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：
因?yàn)榍芯�與曲線有唯一的公共點(diǎn)，
所以方程有且只有一個實(shí)數(shù)解，顯然是方程的一個解.
令，則
①當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，即是方程唯一實(shí)數(shù)解.
②當(dāng)時，由得，，
在區(qū)間上，；在區(qū)間上，；
所以函數(shù)在處有極大值，且；
而當(dāng)，因此在內(nèi)也有一個解.
即當(dāng)時，不合題目的條件.
綜上討論得.……………………………………………………………………………8分
（Ⅱ）.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223219088998.png" style="vertical-align:middle;" />且對稱軸為，
，
所以方程在內(nèi)有兩個不同實(shí)根，
即的解集為，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

由于，所以，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間長度的取值范圍是.……………………15分