【題目】已知橢圓C:=1(a>b>0),點A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點,直線AB與圓G:x2+y2=(c是橢圓的半焦距)相離,P是直線AB上一動點,過點P作圓G的兩切線,切點分別為M、N.
(1)若橢圓C經(jīng)過兩點、,求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)c為定值時,求證:直線MN經(jīng)過一定點E,并求·的值(O是坐標(biāo)原點);
(3)若存在點P使得△PMN為正三角形,試求橢圓離心率的取值范圍..
【答案】(1)=1.(2)見解析(3)
【解析】(1)解:令橢圓mx2+ny2=1,其中m=,n=,得所以m=,n=,即橢圓方程為=1.
(2)證明:直線AB:=1,設(shè)點P(x0,y0),則OP的中點為,所以點O、M、P、N所在的圓的方程為=,化簡為x2-x0x+y2-y0y=0,與圓x2+y2=作差,即直線MN:x0x+y0y=.
因為點P(x0,y0)在直線AB上,得=1,
所以x0 +=0,即
得x=-,y=,故定點E ,·==.
(3)解:由直線AB與圓G:x2+y2= (c是橢圓的焦半距)相離,則>,即4a2b2>c2(a2+b2),4a2(a2-c2)>c2(2a2-c2),得e4-6e2+4>0.因為0<e<1,所以0<e2<3- ①.連結(jié)ON、OM、OP,若存在點P使△PMN為正三角形,則在Rt△OPN中,OP=2ON=2r=c,所以≤c,a2b2≤c2(a2+b2),a2(a2-c2)≤c2(2a2-c2),得e4-3e2+1≤0.因為0<e<1,所以≤e2<1,②.由①②得≤e2<3-,所以
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于數(shù)列,定義, .
(1) 若,是否存在,使得?請說明理由;
(2) 若, ,求數(shù)列的通項公式;
(3) 令,求證:“為等差數(shù)列”的充要條件是“的前4項為等差數(shù)列,且為等差數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓方程為.
(1)設(shè)橢圓的左右焦點分別為、,點在橢圓上運動,求的值;
(2)設(shè)直線和圓相切,和橢圓交于、兩點,為原點,線段、分別和圓交于、兩點,設(shè)、的面積分別為、,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列共有項,記該數(shù)列前項中的最大項為,該數(shù)列后項中的最小項為,.
(1)若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式;
(3)試構(gòu)造一個數(shù)列,滿足,其中是公差不為零的等差數(shù)列,是等比數(shù)列,使得對于任意給定的正整數(shù),數(shù)列都是單調(diào)遞增的,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高三年級某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示,成績分組區(qū)間為:.其中a,b,c成等差數(shù)列且.物理成績統(tǒng)計如表.(說明:數(shù)學(xué)滿分150分,物理滿分100分)
分組 | |||||
頻數(shù) | 6 | 9 | 20 | 10 | 5 |
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,請估計數(shù)學(xué)成績的平均分;
(2)根據(jù)物理成績統(tǒng)計表,請估計物理成績的中位數(shù);
(3)若數(shù)學(xué)成績不低于140分的為“優(yōu)”,物理成績不低于90分的為“優(yōu)”,已知本班中至少有一個“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人,從數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)中隨機抽取2人,求兩人恰好均為物理成績“優(yōu)”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線過點,且P到拋物線焦點的距離為2直線過點,且與拋物線相交于A,B兩點.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若點Q恰為線段AB的中點,求直線的方程;
(Ⅲ)過點作直線MA,MB分別交拋物線于C,D兩點,請問C,D,Q三點能否共線?若能,求出直線的斜率;若不能,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解高一年級學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài),從期中考試成績中隨機抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,按成績分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)由頻率分布直方圖,估計這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);
(2)該校高一年級共有1000名學(xué)生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績達(dá)到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,∠ABC=120°.
(1)證明:AD⊥BA1;
(2)若平面ADD1A1⊥平面ABCD,且A1D=AB,求直線BA1與平面A1B1CD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù),若存在定義域內(nèi)某個區(qū)間,使得在上的值域也是,則稱函數(shù)在定義域上封閉.如果函數(shù)在上封閉,那么實數(shù)的取值范圍是______.
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