Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（1）當(dāng)a=1時，求y=g（x）-f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，求a的取值范圍；
（3）設(shè)h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

（1）當(dāng)a=1時，y=g（x）-f（x）=lnx-x³+3x，
當(dāng)x=1時，y=ln1-1³+3×1=2．
y′=

1

x

-3x2+3，y^′|_x=1=1．
所以切線方程為y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）∵在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，
∴x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，得3a≤x2-

lnx

x

在[1，2]上恒成立．
設(shè)g（x）=x2-

lnx

x

，則g′(x)=2x-

1-lnx

x2

=

2x3+lnx-1

x2

，
∵2x³-1≥0，lnx≥0，∴g^′（x）≥0，∴g（x）_min=g（1）=1，
∴a≤

1

3

；
（3）因h（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數(shù)，故只要求在[0，1]上的最大值．
①當(dāng)a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增且f（0）=0，
∴h（x）=f（x），F(xiàn)（a）=f（1）=1-3a．
②當(dāng)a＞0時，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，
（�。┊�(dāng)

a

≥1，即a≥1時，h（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，此時F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）當(dāng)0＜

a

＜1，即0＜a＜1時，f（x）在[0，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，1]單調(diào)遞增；
1°當(dāng)f（1）=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1時，
h（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，

a

]上單調(diào)遞增，在[

a

，1]單調(diào)遞減，F(a)=-f(

a

)=2a

a

；
2°當(dāng)f（1）=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

時，
（�。┊�(dāng)-f(

a

)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤

1

4

時，F(xiàn)（a）=f（1）=1-3a．
（ⅱ）當(dāng)-f(

a

)＞f(1)=1-3a，即

1

4

＜a＜

1

3

時，F(a)=-f(

a

)=2a

a

．
綜上  F(x)=

1-3a，(a≤ 1 4 ) 2a a ，( 1 4 ＜a＜1) 3a-1，(a≥1)

．