Question

17．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x²+（y-1）²=1，則$\frac{y+2}{x+1}$的最值的情況是[$\frac{4}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意，借助已知?jiǎng)狱c(diǎn)在圓上任意動(dòng)，而所求式子形式可以聯(lián)想成在單位圓上動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A構(gòu)成的斜率，進(jìn)而求解

解答 解：由題意作出如下圖形：

令k=$\frac{y+2}{x+1}$，則k可看作圓x²+（y-1）²=1上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A（-1，-2）的連線的斜率而相切時(shí)的斜率，
由于此時(shí)直線與圓相切，設(shè)直線方程為：y+2=k（x+1），
化為直線一般式為：kx-y+k-2=0，
利用直線與圓相切建立關(guān)于k的方程為：$\frac{|-1+k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴k=$\frac{4}{3}$，
而由題意及點(diǎn)P所在的位置圖可以知道斜率k的最小值為$\frac{4}{3}$，
而由于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1時(shí)，此時(shí)過點(diǎn)A與單位圓相切的直線的傾斜角為90°，所以斜率無最大值．
綜合可得，$\frac{y+2}{x+1}$的取值范圍是[$\frac{4}{3}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{4}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 此題重點(diǎn)考查了已知兩點(diǎn)坐標(biāo)寫斜率，及直線與圓的相切與相交的關(guān)系，還考查了利用幾何思想解決代數(shù)式子的等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想