Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²-6x+blnx在x=2和x=4時取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在x=1處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（2）=0，且f′（4）=0，解方程可得a，b；
（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，再由點斜式方程，即可得到切線方程．

解答 解：（1）定義域為（0，+∞），f′（x）=2ax-6+$\frac{x}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=4a-6+\frac{2}=0}\\{f′（4）=8a-6+\frac{4}=0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=8，經(jīng)檢驗a=$\frac{1}{2}$，b=8符合題意；
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{1}{2}$x²-6x+8lnx，
f′（x）=x-6+$\frac{8}{x}$，
f（x）在x=1處的切線斜率為k=f′（1）=1-6+8=3，
切點為（1，-$\frac{11}{2}$），
則f（x）在x=1處的切線方程為y+$\frac{11}{2}$=3（x-1），
即為6x-2y-17=0．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和極值點的意義，屬于中檔題．