Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F（2，0），M為橢圓的上頂點，O為坐標原點，且△MOF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=8，證明：直線AB過定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，再根據(jù)a²=b²+c²可求得a；
（Ⅱ）分情況討論：（1）當直線AB的斜率存在時，設(shè)AB的方程為：y=kx+m，聯(lián)立直線AB方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及k₁+k₂=8可得關(guān)于k，m的關(guān)系式，消m代入直線AB方程可求得定點坐標；（2）若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x₀，由已知可求得AB方程，易驗證其過定點．

解答 （Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，a²=8，
故橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）證明：（1）若直線AB的斜率存在，
設(shè)AB的方程為：y=kx+m，依題意得m≠±2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
由已知 k₁+k₂=8，可得 $\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}}$=8，
所以$\frac{k{x}_{1}+m-2}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+m-2}{{x}_{2}}$=8，即2k+（m-2）•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=8．     
所以k-$\frac{mk}{m+2}$=4，可得m=$\frac{1}{2}$k-2．
故直線AB的方程為y=kx+$\frac{1}{2}$k-2，即y=k（x+$\frac{1}{2}$）-2．
所以直線AB過定點（-$\frac{1}{2}$，-2）；   
（2）若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x₀，
設(shè)A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}$-$\frac{{y}_{0}+2}{{x}_{0}}$=8，得x₀=-$\frac{1}{2}$．
此時AB方程為x=-$\frac{1}{2}$，顯然過點（-$\frac{1}{2}$，-2）．
綜上，直線AB過定點（-$\frac{1}{2}$，-2）．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓標準方程的求解，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．