Question

已知函數(shù)f(x)=ax³+bx+c在x=1處取得極值2,且函數(shù)f(x)的圖象過(guò)(0,)點(diǎn).

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若點(diǎn)P為函數(shù)f(x)=ax³+bx+c圖象上的任意一點(diǎn),直線l與函數(shù)f(x)=ax³+bx+c圖象相切于P點(diǎn),求直線l的傾斜角的取值范圍.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3ax²+b,

由題意得,

即解得∴f(x)=x³-x+.

(2)由f′(x)=x²-1=0,得x=±1,于是

x	(-∞,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值2	↗

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1)與(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-1,1).

(3)設(shè)點(diǎn)P(x₀,y₀),則直線l的斜率k=f′(x₀)=x₀²-1.

當(dāng)x₀∈R時(shí),k∈［-1,+∞),

所以直線l的傾斜角的取值范圍是［0,)∪［,π).