Question

19．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（a-x）-log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+3）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)便知，f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而求出定義域為（-3，a），從而得出a=3；
（2）得出f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}\frac{3-x}{x+3}$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}（-1+\frac{6}{x+3}）$，根據(jù)-3＜x＜3便可得出$\frac{1}{x+3}$的范圍，進(jìn)一步得出$-1+\frac{6}{x+3}＞0$，這樣根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域便可得出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）為奇函數(shù)，∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；
∴解$\left\{\begin{array}{l}{a-x＞0}\\{x+3＞0}\end{array}\right.$得，-3＜x＜a；
∴a=3；
（2）$f（x）=lo{g}_{\frac{1}{3}}（3-x）-lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+3）$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}\frac{3-x}{x+3}=lo{g}_{\frac{1}{3}}（-1+\frac{6}{x+3}）$；
∵-3＜x＜3；
∴0＜x+3＜6，$\frac{1}{x+3}＞\frac{1}{6}$；
∴$-1+\frac{6}{x+3}＞0$；
∴f（x）的值域為R．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)的定義域的特點(diǎn)，對數(shù)的運(yùn)算，分離常數(shù)法的運(yùn)用，以及對數(shù)函數(shù)的值域．