已知橢圓的左、右焦點分別為、，P為橢圓 上任意一點，且的最小值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）動圓與橢圓相交于A、B、C、D四點，當為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

 

【答案】

（1）；（2）當時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.

【解析】

試題分析：（1）由于（定值）這個條件并結(jié)合余弦定理以及的最小值為這個條件可以求出的值，并由已知條件中的值可以求出，并最終求出橢圓的方程；（2）先設(shè)出、、、中其中一個點的坐標，然后根據(jù)這四點之間的相互對稱性將四邊形的面積用該點的坐標進行表示，結(jié)合這一條件將面積轉(zhuǎn)化為其中一個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的求最值的思想求出四邊形面積的最大值，并可以求出對應的值.

試題解析：（1）因為P是橢圓上一點，所以.

在△中，，由余弦定理得

.

因為，當且僅當時等號成立.

因為，所以.

因為的最小值為，所以，解得.

又，所以.所以橢圓C的方程為.

（2）設(shè)，則矩形ABCD的面積.

因為，所以.

所以.

因為且，所以當時，取得最大值24.

此時，.

所以當時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.

考點：橢圓的定義、余弦定理、二次函數(shù)

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
1
2
且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為，其右準線上上存在點（點在 軸上方），使為等腰三角形．

⑴求離心率的范圍；

    ⑵若橢圓上的點到兩焦點的距離之和為，求的內(nèi)切圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期假期檢測考試理科數(shù)學試卷 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，， 點是橢圓的一個頂點，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點（）．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年福建省三明市高三上學期三校聯(lián)考數(shù)學理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）     已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C1上，頂點B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年云南省德宏州高三高考復習數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，右準線方程為．

（I）求橢圓的標準方程；

（II）過點的直線與該橢圓交于M、N兩點，且，求直線的方程．

 

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