Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2，并且x∈[-3，3]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）在x∈（1，3）上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）當(dāng)a=2時函數(shù)f（x）=x²-4x+5，x∈[-3，3]
所以函數(shù)f（x）的開口方向向上且其對稱軸為x=2
所以當(dāng)x=2時函數(shù)f（x）有最小值f（2）=1，
當(dāng)x=-3時函數(shù)f（x）有最大值f（x）=26．
所以函數(shù)f（x）的值域為[1，26]．
（II）因為f（x）在x∈（1，3）上有兩個不同的零點
所以函數(shù)f（x）滿足下列條件：①△=4a²-20＞0；②x₀=a∈（1，3）；③f（1）＞0；④f（3）＞0
解得
所以實數(shù)a的取值范圍為．
分析：（I）由題意得：函數(shù)f（x）=x²-4x+5，x∈[-3，3]，由二次函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)x=2時函數(shù)f（x）有最小值f（2）=1，當(dāng)x=-3時函數(shù)f（x）有最大值f（x）=26．進而可得到答案．
（II）因為f（x）在x∈（1，3）上有兩個不同的零點所以函數(shù)f（x）滿足下列條件：①△=4a²-20＞0；②x₀=a∈（1，3）；③f（1）＞0；④f（3）＞0．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉一元二次函數(shù)的性質(zhì)，對運算能力也有一定的要求．