Question

己知L₁、L₂是過點P（－，0）的兩條互相垂直的直線，且L₁、L₂與雙曲線y²－x²=1各有兩個交點，且分別為A₁、B₁和A₂、B₂。

(1)求L₁的斜率k₁的取值范圍；

(2)若A₁恰是雙曲線的一個頂點，求|A₂B₂|的值。

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)據(jù)題意，L1、L2的斜率都存在， 因為L1過點P（－，0），且與雙曲線有兩個交點，故方程組              ① 有兩個不同的解。 在方程組①中，消去y，整理得 （k12－1）x2+2k12x+2k12－1=0    ② 若k12－1=0,直線與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線只有一個交點，與題設(shè)矛盾。故k12－1≠0，即|k1|≠1 方程②的判別式為 △1=（2k12）2－4(k12－1)(2k12－1)   =4(3k12－1) 設(shè)L2的斜率為k2，因為L2過點P（－，0），­且與雙曲線有兩個交點，故方程組            ③ 有兩個不同的解。 在方程組③中消去y，整理得 （k22－1）x2+2k22x+2k22－1=0   ④ 同理有k22－1≠0，△2=4（3k22－1） 因為L1⊥L2，所以有k1·k2=－1,于是L1、L2與雙曲線各有兩個交點的充要條件是 ∴k1∈（－，－1）∪（－1，－）∪（，1）∪（1，）。 (2)雙曲線y2－x2=1的頂點為（0，－1）、（0，1），取A1（0，1）時，有k1(0+)=1 解得k1= ∴k2=－,代入方程④得 x2+4x+3=0。              ⑤ 設(shè)L2與雙曲線的兩個交點的坐標為A2（x1,y1）、B2（x2,y2）, 則x1+x2=－4,x1x2=3 ∴|A2B2|= =3 當取A1（0，－1）時，由雙曲線y2－x2=1關(guān)于x軸對稱，知|A2B2|=2 ∴L1過雙曲線的一個頂點時，|A2B2|=2。