Question

已知函數(shù)f（x）=log_mx（mm為常數(shù)，0＜m＜1），且數(shù)列{f（a_n）}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．
（1）若b_n=a_n•f（a_n），當(dāng)m=時(shí)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)c_n=a_n•lga_n，如果{c_n}中的每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）用等差數(shù)列求和公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得：a_n=m²ⁿ，從而有b_n=n•（）^n-1，最后用錯(cuò)位相減法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）由題意，不等式c_n＜c_n+1對(duì)一切n∈N^*成立，代入a_n的表達(dá)式并化簡可得m²＜（）_min．通過討論單調(diào)性可得當(dāng)n=1時(shí)，的最小值是，從而得到m²＜，結(jié)合0＜m＜1，得到實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，）．
解答：解：（1）由題意得f（a_n）=2+2（n-1）=log_ma_n，可得2n=log_ma_n，…（1分）
∴a_n=m²ⁿ．…（2分）
b_n=a_n•f（a_n）=2n•m²ⁿ．
∵m=，∴b_n=a_n•f（a_n）=2n•（）²ⁿ=n•（）^n-1，…（3分）
∴S_n=1•（）+2•（）¹+3•（）²+…+n•（）^n-1，①
S_n=1•（）¹+2•（）²+3•（）³+…+n•（）ⁿ，②…（4分）
①-②，得S_n=（）+（）¹+（）²+…+（）^n-1-n•（）ⁿ=…（6分）
∴化簡得：S_n=-（n+2）（）^n-1+4  …（7分）
（2）解：由（Ⅰ）知，c_n=a_n•lga_n=2n•m²ⁿlgm，要使c_n＜c_n+1對(duì)一切n∈N^*成立，
即nlgm＜（n+1）m²lgm對(duì)一切n∈N^*成立．…（8分）
∵0＜m＜1，可得lgm＜0
∴原不等式轉(zhuǎn)化為n＞（n+1）m²，對(duì)一切n∈N^*成立，
只需m²＜（）_min即可，…（10分）
∵h(yuǎn)（n）=在正整數(shù)范圍內(nèi)是增函數(shù)，∴當(dāng)n=1時(shí)，（）_min=．…（12分）
∴m²＜，且0＜m＜1，，∴0＜m＜．…（13分）
綜上所述，存在實(shí)數(shù)m∈（0，）滿足條件．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題以對(duì)數(shù)運(yùn)算和數(shù)列通項(xiàng)與求和運(yùn)算為載體，求數(shù)列的前n項(xiàng)和并求數(shù)列單調(diào)遞增時(shí)參數(shù)的取值范圍，著重考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及不等式恒成立問題的討論等知識(shí)，屬于中檔題．