如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N分別是CC1,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線A1B1上,且
(1)證明:無論入取何值,總有AM⊥PN;
(2)當(dāng)入取何值時(shí),直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角取最大值時(shí)的正切值。
(3)是否存在點(diǎn)P,使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º,若存在,試確定點(diǎn)P的位置,若不存在,說明理由。
解:如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
則A1(0,0,1),B1(1,0,1), M(0,1,),
N(,0),
,
(1)∵,∴
∴無論取何值,AM⊥PN.........4分
(2)∵(0,0,1)是平面ABC的一個(gè)法向量。
∴sinθ=|cos<|=
∴當(dāng)=時(shí),θ取得最大值,此時(shí)sinθ=,cosθ=,tanθ=2
當(dāng)=時(shí),θ取得最大值,此時(shí)tanθ=2..........8分
(3)設(shè)存在,,設(shè)是平面PMN的一個(gè)法向量。
則得令x=3,得y=1+2,z=2-2
∴..........10分
∴|cos<>|=化簡得4
∵△=100-4413=-108<0∴方程(*)無解
∴不存在點(diǎn)P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º.........12分
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