Question

19．如圖，直線l為一森林的邊界，AC⊥l，AC=6，B為AC的中點(diǎn)．野兔與狼分別于A、B同時(shí)勻速奔跑，其中野兔的速度是狼的兩倍．如果狼比野兔提前或同時(shí)跑到某一點(diǎn)，則就認(rèn)為野兔在這點(diǎn)能被狼抓住．野兔是沿著AD直線奔跑的．問直線l上的點(diǎn)D處在什么位置時(shí)，野兔在AD上不可能被狼抓��？

Answer 1

分析 由題意，建立下面直角坐標(biāo)系x0y，并設(shè)M（x，y），野兔在AD上不可能被狼則：$\frac{|BM|}{v}$＞$\frac{|AM|}{2v}$由此不等式得出2|BM|＞|AM|，用兩點(diǎn)間距離公式將此不等式用坐標(biāo)表示出來，整理出方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系x0y，并設(shè)M（x，y）．
則A（0，6），B（0，3），D（a，0），（a＞0）
野兔在AD上不可能被狼則：$\frac{|BM|}{v}$＞$\frac{|AM|}{2v}$．
即2|BM|＞|AM|
∴2$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$＞$\sqrt{{x}^{2}+（y-6）^{2}}$
兩邊平方，整理得：x²+y²-4y＞0
即：x²+（y-2）²＞4，
所以，野兔在AD上不可能被狼抓住的區(qū)域?yàn)閳A的外部，
直線AD的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}{6}=1$，即6x+ay-6a=0，
圓心（0，2）到直線的距離d=$\frac{|0+2a-6a|}{\sqrt{{6}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{|4a|}{\sqrt{36+{a}^{2}}}$＞2，
平方得a²＞12，
即a＞2$\sqrt{3}$或a＜-2$\sqrt{3}$（舍）．
直線l上的點(diǎn)D處在距離大于2$\sqrt{3}$時(shí)，野兔在AD上不可能被狼抓�。�

點(diǎn)評 本題考查求軌跡方程，由于題設(shè)條件比較抽象，解答本題，關(guān)鍵是建立起合適的模型，本題考查了以形助數(shù)能力及轉(zhuǎn)化化歸的能力，難度較大．