【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC=1,點(diǎn)P是棱BB1上一點(diǎn),滿足 (0≤λ≤1).

(1)若λ= ,求直線PC與平面A1BC所成角的正弦值;
(2)若二面角P﹣A1C﹣B的正弦值為 ,求λ的值.

【答案】
(1)解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O,分別以AB,AC,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.

∵AB=AC=1,AA1=2,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),

A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2λ)

得, , ,

設(shè)平面A1BC的法向量為 =(x1,y1,z1),由 ,得

取z1=1,則x1=y1=2,從而平面A1BC的一個法向量為 =(2,2,1).

設(shè)直線PC與平面A1BC所成的角為θ,

則sinθ=|cos< , >|= = ,

∴直線PC與平面A1BC所成的角的正弦值為


(2)解:設(shè)平面PA1C的法向量為 =(x2,y2,z2),

,得

取z2=1,則x2=2﹣2λ,y2=2,平面PA1C的法向量為 =(2﹣2λ,2,1).

則cos< , >= = ,

又∵二面角P﹣A1C﹣B的正弦值為 ,∴

化簡得λ2+8λ﹣9=0,解得λ=1或λ=﹣9(舍去),

故λ的值為1.


【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O,分別以AB,AC,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,利用向量法能求出直線PC與平面A1BC所成的角的正弦值.(2)求出平面PA1C的法向量和平面PA1C的法向量,利用向量法能求出λ的值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則

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(II)試用(I)的結(jié)果證明如下命題:設(shè)a1≥0,a2≥0,b1 , b2為正有理數(shù),若b1+b2=1,則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2;
(III)請將(II)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注:當(dāng)α為正有理數(shù)時,有求導(dǎo)公式(xαr=αxα1

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(2)若λ= ,求Sn

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項目

男性

女性

總計

反感

10

不反感

8

總計

30

已知在這30人中隨機(jī)抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是.

(1)請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整(直接寫結(jié)果,不需要寫求解過程),并據(jù)此資料分析反感“中國式過馬路”與性別是否有關(guān)?

(2)若從這30人中的女性路人中隨機(jī)抽取2人參加一活動,記反感“中國式過馬路”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:K2

.

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

6.635

7.879

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③存在圓,使得是圓的一個太極函數(shù);

④直線所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù);

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所有正確的是__________

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