Question

設
（1）若，求及數列的通項公式；
（2）若，問：是否存在實數使得對所有成立？證明你的結論.

Answer 1

（1）；（2）存在，

試題分析：（1）由
所以數列是等差數列，可先求數列再求數列的通項公式；也可以先根據數列的前幾項歸納出數列的通項公式，然后由數學歸納法證明.
（2）利用數列的遞推公式構造函數，
由，然后結合函數的單調性，用數學歸納法證明即可.
解:（1）解法一：
再由題設條件知
從而是首項為0公差為1的等差數列，
故=，即
解法二：
可寫為.因此猜想.
下用數學歸納法證明上式：
當時結論顯然成立.
假設時結論成立，即.則

這就是說，當時結論成立.
所以
（2）解法一：設，則.
令，即，解得.
下用數學歸納法證明加強命：

當時，，所以，結論成立.
假設時結論成立，即
易知在上為減函數，從而

即
再由在上為減函數得.
故，因此，這就是說，當時結論成立.
綜上，符合條件的存在，其中一個值為.
解法二：設，則
先證：         ①
當時，結論明顯成立.
假設時結論成立，即
易知在上為減函數，從而

即這就是說，當時結論成立，故①成立.
再證：           ②
當時，，有，即當時結論②成立
假設時，結論成立，即
由①及在上為減函數，得


這就是說，當時②成立，所以②對一切成立.
由②得
即
因此
又由①、②及在上為減函數得
即
所以解得.
綜上，由②③④知存在使對一切成立.