Question

（本小題滿分12分）如圖，P是平面ADC外的一點(diǎn)，, ,,.

（1）求證：是直線與 平面所成的角

（2）若,求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見(jiàn)解析

（2）

【解析】（1）在中，,，，

∴，∴,………3分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052021473512501556/SYS201205202149067343930165_DA.files/image008.png">，所以平面……5分

∴是直線與 平面所成的角……………6分

（2）解法一：由（1）得平面，則……………………………8分

又∵平面平面=，∴是二面角的平面角………9分

在中，,,

由余弦定理得=

所以，求二面角的余弦值為………12分

解法二：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)O，由（1）知平面，平面

∴平面PCD⊥平面CDA，則平面.……………7分

∵, ∴  ………………………………8分

則以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O-XYZ.

∴O（0,0,0）,A(4,2,0),D(0,2,0),P(0,0,)，C（0，-2,0） ……9分

設(shè)平面PAD的法向量為.

 ∴，又

，所以……………10分

又因?yàn)槠矫鍭CD的法向量為……………11分

∴

因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052021473512501556/SYS201205202149067343930165_DA.files/image020.png">為銳角，則二面角的余弦值是…………12分