Question

5．設(shè)直線l的方程為y=kx+b（其中k的值與b無(wú)關(guān)），圓M的方程為x²+y²-2x-4=0．
（1）如果不論k取何值，直線l與圓M總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求b的取值范圍；
（2）b=1，l與圓交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）若不論k取何值，直線l與圓M總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則（0，b）點(diǎn)在圓M：x²+y²-2x-4=0的內(nèi)部，進(jìn)而得到b的取值范圍；
（2）b=1時(shí)，l必過(guò)（0，1）點(diǎn)，當(dāng)l過(guò)圓心時(shí)，|AB|取最大值，當(dāng)l和過(guò)（0，1）的直徑垂直時(shí)，|AB|取最小值．

解答 解：（1）若不論k取何值，直線l與圓M總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則（0，b）點(diǎn)在圓M：x²+y²-2x-4=0的內(nèi)部，
即b²-4＜0，
解得：-2＜b＜2；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，l必過(guò)（0，1）點(diǎn)，
當(dāng)l過(guò)圓心時(shí)，|AB|取最大值，即圓的直徑，
由M：x²+y²-2x-4=0的半徑r=$\sqrt{5}$，
故|AB|的最大值為2$\sqrt{5}$，
當(dāng)l和過(guò)（0，1）的直徑垂直時(shí)，|AB|取最小值．
此時(shí)圓心M（1，0）到（0，1）的距離d=$\sqrt{2}$，
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-bhyzm97^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
故|AB|的最小值為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想，將直線l與圓M總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，化為（0，b）點(diǎn)在圓M：x²+y²-2x-4=0的內(nèi)部，是解答的（1）的關(guān)鍵；