Question

10．若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f（x）=x²+2x．
（1）寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-4x+2（x∈[1，2]），求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）x≤0時，f（x）=x²+2x，若x＞0，則-x＜0，結合偶函數(shù)滿足f（x）=f（-x），可得x＞0時函數(shù)的解析式，綜合可得答案；
（2）求出g（x）的解析式，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得答案．

解答 解：（1）x≤0時，f（x）=x²+2x，
若x＞0，則-x＜0，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
則$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x＞0\\{x^2}+2x，x≤0.\end{array}\right.$
（2）g（x）=f（x）-4x+2=x²-2x-4x+2=x²-6x+2，x∈[1，2]，
∵y=x²-6x+2的圖象是開口朝上，且以x=3為對稱軸的拋物線，
故g（x）=x²-6x+2，x∈[1，2]為減函數(shù)，
當x=2時，函數(shù)g（x）取最小值-6

點評 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質，二次函數(shù)的圖象和性質，難度中檔．