Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-1，x≤2 loga(x-1)+3，x＞2

是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（1，+∞）
• B、[2，+∞）
• C、（1，2）
• D、（1，2]

Answer 1

分析：因為f（x）是定義域R上的單調(diào)函數(shù)，所以可能為單調(diào)遞增函數(shù)或是單調(diào)遞減函數(shù)．由對數(shù)式f（x）=log_a（x-1）+3，（x＞2）知底數(shù)a＞0，所以f（x）=ax-1在x≤2上單調(diào)遞增，最小值為f（2）=2a-1，由于f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f（x）=log_a（x-1）+3，（x＞2）上也是單調(diào)遞增，故a＞1，同時還應滿足log_a（2-1）+3≤2a-1．

解答：解：因為f（x）是定義域R上的單調(diào)函數(shù)，所以a應滿足：

a＞1 2a-1≤loga(2-1)+3

，解得：1＜a≤2，故選D．

點評：本題考查對分段函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的理解掌握程度，若分段函數(shù)具有單調(diào)性關(guān)鍵點和難點都是在分段點處函數(shù)值的比較．